まず「入れ墨」。これは元々、犯罪者が罪を犯した際に罰として使われた「入れ墨刑」からくるもので、昔は、犯罪者の証として文字や線をいれたそうです。
罰として墨を肌に入れたというイメージが強いため、この表記はあまり好まれないのですがあえてブラックユーモアとして名前や看板に使う彫り師もいます。
次に「刺青」ですが、谷崎潤一郎氏の有名な小説により一般的になったというのが定説です。
芸術としての刺青を表すのであればこちらの方が適切だといえます。
他にも、洋風のデザインだと「タトゥー」や「ワンポイント」等と呼ばれたり、和彫りなら「彫り物」など使い分けられる事も多いようです。
俗語としては、「もんもん」や「がまん」などがあります。「もんもん」はくりからもんもんの絵柄から、「がまん」は主に関西地方でよく耳にしますが 痛みに耐える事からそう呼ばれているようです。